Найдите ту пару значений переменных, при которых многочлен p(x; y) = 2x²+2xy + y²– 2x + 2 принимает наименьшее значение. Чему равно это наименьшее зна- чение?

Преобразуем выражение: $$p(x, y) = 2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2 = x^2 + x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 + (x + y)^2 - 2x + 1 + 1$$ $$p(x, y) = (x^2 - 2x + 1) + (x + y)^2 + 1 = (x - 1)^2 + (x + y)^2 + 1$$ Наименьшее значение данного выражения будет тогда, когда оба квадрата равны нулю: $$x - 1 = 0$$ $$x + y = 0$$ Тогда $$x = 1$$ и $$y = -x = -1$$. $$p(1, -1) = (1 - 1)^2 + (1 + (-1))^2 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$$.

Ответ: 1