Найдите наибольшее значение многочлена р(х): a) p(x)=7 – x² – 6x; в) р(х)=10 – 3x – x²; б) p(x)= 5x – 2x²; г) p(x)=1+3x–2x².

• a) $$p(x) = 7 - x^2 - 6x = 7 - (x^2 + 6x) = 7 - (x^2 + 6x + 9) + 9 = 16 - (x + 3)^2$$. Наибольшее значение многочлена достигается при x = -3 и равно 16.
• в) $$p(x) = 10 - 3x - x^2 = 10 - (x^2 + 3x) = 10 - (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4} = \frac{49}{4} - (x + \frac{3}{2})^2$$. Наибольшее значение многочлена достигается при $$x = \frac{-3}{2}$$ и равно $$\frac{49}{4}$$.
• б) $$p(x) = 5x - 2x^2 = -2(x^2 - \frac{5}{2}x) = -2(x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16}) + 2 \cdot \frac{25}{16} = \frac{25}{8} - 2(x - \frac{5}{4})^2$$. Наибольшее значение многочлена достигается при $$x = \frac{5}{4}$$ и равно $$\frac{25}{8}$$.
• г) $$p(x) = 1 + 3x - 2x^2 = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) + 2 \cdot \frac{9}{16} + 1 = \frac{17}{8} - 2(x - \frac{3}{4})^2$$. Наибольшее значение многочлена достигается при $$x = \frac{3}{4}$$ и равно $$\frac{17}{8}$$.

Ответ: a) 16; в) 49/4; б) 25/8; г) 17/8