Докажите, что значение выражения не зависит от n: 17 5²ⁿ⁺⁷ : 5²ⁿ⁻¹; 18 \(\frac{8^{2n+2}}{4^{3n+1}}\); 19 \(\frac{21^{n+3}}{3^{n+1} · 7^{n+2}}\).

17. \[ 5^{2n+7} : 5^{2n-1} \]

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \[ a^m : a^n = a^{m-n} \]:

\[ 5^{(2n+7) - (2n-1)} = 5^{2n+7-2n+1} = 5^8 \]

Значение выражения равно \[ 5^8 \] и не зависит от n.

18. \[ \frac{8^{2n+2}}{4^{3n+1}} \]

Представим основания степени как степени числа 2:

\[ 8 = 2^3 \], \[ 4 = 2^2 \]

Подставим:

\[ \frac{(2^3)^{2n+2}}{(2^2)^{3n+1}} = \frac{2^{3(2n+2)}}{2^{2(3n+1)}} = \frac{2^{6n+6}}{2^{6n+2}} \]

Используем свойство деления степеней:

\[ 2^{(6n+6) - (6n+2)} = 2^{6n+6-6n-2} = 2^4 = 16 \]

Значение выражения равно 16 и не зависит от n.

19. \[ \frac{21^{n+3}}{3^{n+1} · 7^{n+2}} \]

Представим основание 21 как произведение 3 и 7:

\[ 21 = 3 · 7 \]

Подставим:

\[ \frac{(3 · 7)^{n+3}}{3^{n+1} · 7^{n+2}} = \frac{3^{n+3} · 7^{n+3}}{3^{n+1} · 7^{n+2}} \]

Разделим степени с одинаковым основанием:

\[ 3^{(n+3)-(n+1)} · 7^{(n+3)-(n+2)} = 3^{n+3-n-1} · 7^{n+3-n-2} = 3^2 · 7^1 = 9 · 7 = 63 \]

Значение выражения равно 63 и не зависит от n.

Ответ: Во всех случаях значение выражения не зависит от n.