Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: \(\left(\frac{25}{n^2}+\frac{n}{5}\right):\left(\frac{5}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{5}\right):(n+5)\)

При обычном порядке действий деление выполняется слева направо. Упростим выражение и проверим утверждение.

\(\displaystyle \frac{25}{n^2}+\frac{n}{5}=\frac{n^3+125}{5n^2},\qquad \frac{5}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{5}=\frac{n^2-5n+5}{5n^2}.\)

Следовательно, исходное выражение равно

\(\displaystyle \frac{n^3+125}{n^2-5n+5}\cdot\frac{1}{n+5}=\frac{n^3+125}{(n^2-5n+5)(n+5)}.\)

Это выражение не является постоянным. Например, при \(n=1\) его значение равно \(\frac{13}{3}\), а при \(n=2\) — \(\frac{25}{7}\). Оба значения допустимы и не равны.

Ответ: по записанному условию утверждение неверно: значение выражения зависит от \(n\). Возможно, в выражении или задании допущена опечатка.