Выполните действия: \(\frac{3a^2-4}{a^2-16}:\left(\frac{3a-1}{a-4}+\frac{3a+1}{a+4}\right)\)

Область допустимых значений: \(a\ne 4,-4\); кроме того, делитель не должен быть равен нулю.

Сложим дроби в скобках:

\(\displaystyle \frac{3a-1}{a-4}+\frac{3a+1}{a+4}=\frac{(3a-1)(a+4)+(3a+1)(a-4)}{a^2-16}=\frac{6a^2-8}{a^2-16}=\frac{2(3a^2-4)}{a^2-16}.\)

Тогда делитель равен нулю при \(3a^2-4=0\), то есть при \(a=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\); эти значения также исключаются. При остальных допустимых значениях:

\(\displaystyle \frac{3a^2-4}{a^2-16}:\frac{2(3a^2-4)}{a^2-16}=\frac12.\)

Ответ: \(\frac12\), где \(a\ne\pm4\) и \(a\ne\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\).