1004. Докажите, что значение выражения: а) \(41^3 + 19^3\) делится на 60; б) \(79^3-29^3\) делится на 50; в) \(66^3 + 34^3\) делится на 400; г) \(54^3-24^3\) делится на 1080.

Решение:

а) \(41^3 + 19^3\) делится на 60

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(41^3 + 19^3 = (41 + 19)(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2) = 60 \cdot (41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)\)

Так как один из множителей равен 60, то выражение \(41^3 + 19^3\) делится на 60, что и требовалось доказать.

б) \(79^3-29^3\) делится на 50

Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

\(79^3 - 29^3 = (79 - 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) = 50 \cdot (79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2)\)

Так как один из множителей равен 50, то выражение \(79^3-29^3\) делится на 50, что и требовалось доказать.

в) \(66^3 + 34^3\) делится на 400

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(66^3 + 34^3 = (66 + 34)(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2) = 100 \cdot (66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)\)

Вынесем общий множитель:

\(100 \cdot (66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2) = 100 \cdot (2 \cdot 33 \cdot 66 - 2 \cdot 33 \cdot 34 + 2 \cdot 17 \cdot 34) = 100 \cdot 4 \cdot (33 \cdot 33 - 33 \cdot 17 + 17 \cdot 17)\)

Так как 100 умножается на 4, то выражение \(66^3 + 34^3\) делится на 400, что и требовалось доказать.

г) \(54^3-24^3\) делится на 1080

Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

\(54^3 - 24^3 = (54 - 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2) = 30 \cdot (54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)\)

Разложим на множители:

\(30 \cdot (54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2) = 30 \cdot (18 \cdot 54 + 18 \cdot 24 + 6 \cdot 24) = 30 \cdot 6 \cdot (3 \cdot 54 + 3 \cdot 24 + 24) = 180 \cdot (162 + 72 + 24) = 180 \cdot 258\)

\(180 \cdot 258 = 180 \cdot 2 \cdot 129 = 360 \cdot 129\)

Разложим 129 на множители:

\(129 = 3 \cdot 43\)

Тогда:

\(360 \cdot 129 = 360 \cdot 3 \cdot 43 = 1080 \cdot 43\)

Так как один из множителей равен 1080, то выражение \(54^3-24^3\) делится на 1080, что и требовалось доказать.

Ответ: смотри решение.