1003. Представьте в виде произведения: а) \(\frac{27}{64}-y^{12}\); б) \(-x^{15}+\frac{1}{27}\); в) \(3\frac{3}{8}a^{15}+b^{12}\); г) \(1\frac{61}{64}x^{18}+y^{3}\).

Решение:

а) \(\frac{27}{64}-y^{12}\)

Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Представим в виде разности кубов: \(\left(\frac{3}{4}\right)^3 - (y^4)^3\)

\(\frac{27}{64}-y^{12} = \left(\frac{3}{4} - y^4\right)\left(\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{3}{4}y^4 + (y^4)^2\right) = \left(\frac{3}{4} - y^4\right)\left(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8\right)\)

б) \(-x^{15}+\frac{1}{27}\)

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

Представим в виде суммы кубов: \(\left(\frac{1}{3}\right)^3 + (-x^5)^3\)

\(-x^{15}+\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3} - x^5\right)\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10}\right)\)

в) \(3\frac{3}{8}a^{15}+b^{12}\)

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: \(3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}\)

Представим в виде суммы кубов: \(\left(\frac{3}{2}a^5\right)^3 + (b^4)^3\)

\(\frac{27}{8}a^{15}+b^{12} = \left(\frac{3}{2}a^5 + b^4\right)\left(\left(\frac{3}{2}a^5\right)^2 - \frac{3}{2}a^5b^4 + (b^4)^2\right) = \left(\frac{3}{2}a^5 + b^4\right)\left(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8\right)\)

г) \(1\frac{61}{64}x^{18}+y^{3}\)

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: \(1\frac{61}{64} = \frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}\)

Представим в виде суммы кубов: \(\left(\frac{5}{4}x^6\right)^3 + y^3\)

\(\frac{125}{64}x^{18}+y^{3} = \left(\frac{5}{4}x^6 + y\right)\left(\left(\frac{5}{4}x^6\right)^2 - \frac{5}{4}x^6y + y^2\right) = \left(\frac{5}{4}x^6 + y\right)\left(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2\right)\)

Ответ: смотри решение.