1005. Представьте в виде произведения: a) \((x + 1)^3 + x^3\); б) \((y-2)^3-27\); в) \((a – b)³ + b³\); г) \(8x³ + (x - y)³\); д) \(27a³ – (a – b)³\); e) \(1000 + (b – 8)³\).

Решение:

а) \((x + 1)^3 + x^3\)

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\((x + 1)^3 + x^3 = (x + 1 + x)((x + 1)^2 - (x + 1)x + x^2) = (2x + 1)(x^2 + 2x + 1 - x^2 - x + x^2) = (2x + 1)(x^2 + x + 1)\)

б) \((y-2)^3-27\)

Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

\((y-2)^3-27 = (y - 2 - 3)((y - 2)^2 + 3(y - 2) + 9) = (y - 5)(y^2 - 4y + 4 + 3y - 6 + 9) = (y - 5)(y^2 - y + 7)\)

в) \((a – b)³ + b³\)

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\((a – b)³ + b³ = (a - b + b)((a - b)^2 - (a - b)b + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2 - ab + b^2 + b^2) = a(a^2 - 3ab + 3b^2)\)

г) \(8x³ + (x - y)³\)

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(8x³ + (x - y)³ = (2x + x - y)((2x)^2 - 2x(x - y) + (x - y)^2) = (3x - y)(4x^2 - 2x^2 + 2xy + x^2 - 2xy + y^2) = (3x - y)(3x^2 + y^2)\)

д) \(27a³ – (a – b)³\)

Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

\(27a³ – (a – b)³ = (3a - (a - b))((3a)^2 + 3a(a - b) + (a - b)^2) = (2a + b)(9a^2 + 3a^2 - 3ab + a^2 - 2ab + b^2) = (2a + b)(13a^2 - 5ab + b^2)\)

е) \(1000 + (b – 8)³\)

Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(1000 + (b – 8)³ = (10 + b - 8)(100 - 10(b - 8) + (b - 8)^2) = (b + 2)(100 - 10b + 80 + b^2 - 16b + 64) = (b + 2)(b^2 - 26b + 244)\)

Ответ: смотри решение.