784. Докажите, что: a) $$7^{16} + 7^{14}$$ делится на 50; б) $$5^{31} - 5^{29}$$ делится на 100; в) $$25^9 + 5^{17}$$ делится на 30; г) $$27^{10} - 9^{14}$$ делится на 24; д) $$12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$$ делится на 7 и на 19; е) $$11^9 - 11^8 + 11^7$$ делится на 3 и на 37.

**a) $$7^{16} + 7^{14}$$** Выносим $$7^{14}$$ за скобки: $$7^{14}(7^2 + 1) = 7^{14}(49 + 1) = 7^{14} cdot 50$$. Так как есть множитель 50, то выражение делится на 50. **б) $$5^{31} - 5^{29}$$** Выносим $$5^{29}$$ за скобки: $$5^{29}(5^2 - 1) = 5^{29}(25 - 1) = 5^{29} cdot 24 = 5^{27} cdot 5^2 cdot 24 = 5^{27} cdot 25 cdot 24 = 5^{27} cdot 600$$. Так как есть множитель 600 (а 600 делится на 100), то выражение делится на 100. Или $$5^{29} * 24 = 5^{29}*4*6 = 5^{29}*4+ 5^{29}*6 $$. **в) $$25^9 + 5^{17}$$** Представим $$25^9$$ как $$(5^2)^9 = 5^{18}$$. Тогда выражение: $$5^{18} + 5^{17} = 5^{17}(5 + 1) = 5^{17} cdot 6$$. Чтобы доказать, что делится на 30, надо показать, что делится на 5 и на 6. Делимость на 6 уже видна. Представим $$5^{17} cdot 6 = 5^{16} cdot 5 cdot 6 = 5^{16} cdot 30$$. Так как есть множитель 30, выражение делится на 30. **г) $$27^{10} - 9^{14}$$** Представим $$27^{10}$$ как $$(3^3)^{10} = 3^{30}$$. Представим $$9^{14}$$ как $$(3^2)^{14} = 3^{28}$$. Тогда выражение: $$3^{30} - 3^{28} = 3^{28}(3^2 - 1) = 3^{28}(9 - 1) = 3^{28} cdot 8$$. Чтобы доказать, что делится на 24, представим $$3^{28} cdot 8 = 3^{25} cdot 3^3 cdot 8 = 3^{25} cdot 27 cdot 8 = 3^{25} cdot 216 = 3^{25} * 24 * 9 $$. Так как есть множитель 24, выражение делится на 24. **д) $$12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$$** Выносим $$12^{11}$$ за скобки: $$12^{11}(12^2 - 12 + 1) = 12^{11}(144 - 12 + 1) = 12^{11} cdot 133$$. Так как $$133 = 7 cdot 19$$, то выражение делится на 7 и на 19. **е) $$11^9 - 11^8 + 11^7$$** Выносим $$11^7$$ за скобки: $$11^7(11^2 - 11 + 1) = 11^7(121 - 11 + 1) = 11^7 cdot 111$$. Так как $$111 = 3 cdot 37$$, то выражение делится на 3 и на 37.