Докажите неравенство: а) \((x-2)^2>x(x-2)\); б) \(a^2+1\ge 2(3a-4)\).

а) В напечатанном условии неравенство неверно для всех действительных \(x\):

\((x-2)^2-x(x-2)=(x-2)((x-2)-x)=-2(x-2)\).

Оно положительно только при \(x<2\); при \(x=2\) получается равенство, а при \(x>2\) неравенство неверно. Например, при \(x=3\): \(1>3\) — ложное утверждение. Возможно, в условии пропущено ограничение \(x<2\).

б) Перенесём правую часть влево и раскроем скобки:

\(a^2+1-2(3a-4)=a^2-6a+9=(a-3)^2\).

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому \((a-3)^2\ge 0\).

Ответ: б) неравенство верно при всех действительных \(a\); а) верно только при \(x<2\), поэтому без дополнительного условия доказать его нельзя.