Докажите параллельность плоскостей ABC и A₁B₁C₁. 6) Дано: ABCD — пространственный четырёхугольник; DA₁ : A₁A = DB₁ : B₁B = DC₁ : C₁C.

Обозначим общее значение отношений через \(k\). Точки A₁, B₁ и C₁ делят отрезки DA, DB и DC в одинаковом отношении от точки D.

Тогда существует гомотетия с центром D и коэффициентом \(\lambda=\frac{k}{1+k}\), переводящая A в A₁, B в B₁ и C в C₁. Гомотетия переводит плоскость, не проходящую через её центр, в параллельную плоскость. Поскольку ABCD — пространственный четырёхугольник, D не лежит в плоскости ABC.

Ответ: плоскости ABC и A₁B₁C₁ параллельны.