442. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прилежащего острого угла.

Доказательство:

1. Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠C = ∠C₁ = 90°.
2. Пусть AC = A₁C₁ и биссектрисы AD = A₁D₁, проведённые из вершины A и A₁.
3. Рассмотрим треугольники ACD и A₁C₁D₁. У них:
• AC = A₁C₁ (по условию)
• AD = A₁D₁ (по условию)
4. Пусть ∠CAD = ∠C₁A₁D₁ = α, тогда ∠ADC = ∠A₁D₁C₁ = 180° - 90° - α = 90° - α.
5. Значит, треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства треугольников следует, что ∠A = ∠A₁.
7. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. У них:
• AC = A₁C₁ (по условию)
• ∠A = ∠A₁ (доказано выше)
• ∠C = ∠C₁ = 90° (по условию)
8. Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

Ответ: Прямоугольные треугольники равны по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прилежащего острого угла.