385 Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вто-рую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Решение Пусть на прямой 1, отложены равные отрезки А₁₂, A₂A, ...ASA и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую ₂ в точках В1, B2, B3, B4, (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В,В2, В₂B, BB, ... равны друг другу. Докажем, например, что В₁В₂ = В.В. Рассмотрим сначала случай, когда прямые 1 и 12 параллельны (рис. 165, а). Тогда А₁А₂ = В,В2 и А₂А₃ = В₂В₃ как противопо- ложные стороны параллелограммов А,В,ВА, И А₂B₂ВАз. Так как А1А2 = А2 Аз, то и В₁В₂ = В2В3. Если прямые 1 и 12 не па- раллельны, то через точку В₁ проведём прямую 1, параллель- ную прямой 11 (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А,В, и АВ в некоторых точках С и Д. Так как A₁A₂=A2A3, то по дока- занному В₁С = CD. Отсюда получаем: В₁В₂ = В₂В₃ (задача 384). Аналогично можно доказать, что В₂В₃ = ВВ₄ и т. д.

Решение задачи 385

Доказательство теоремы Фалеса:

1. Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки A₁A₂, A₂A₃ и так далее, и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие прямую l₂ в точках B₁, B₂, B₃ и так далее.

2. Требуется доказать, что отрезки B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄ и так далее равны друг другу. Докажем, например, что B₁B₂ = B₂B₃.

3. Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны. Тогда A₁A₂ = B₁B₂ и A₂A₃ = B₂B₃ как противоположные стороны параллелограммов A₁B₁B₂A₂ и A₂B₂B₃A₃. Так как A₁A₂ = A₂A₃, то и B₁B₂ = B₂B₃.

4. Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку B₁ проведём прямую l, параллельную прямой l₁.

5. Она пересечёт прямые A₁B₁ и A₃B₃ в некоторых точках C и D. Так как A₁A₂ = A₂A₃, то по доказанному B₁C = CD. Отсюда получаем: B₁B₂ = B₂B₃ (задача 384).

6. Аналогично можно доказать, что B₂B₃ = B₃B₄ и так далее.