Докажите тождество: a) (a-3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a - c)(3c + 5a) - 8a²; 6) (1-2b)(1-5b+b²) + (2b-1)(1-6b+b²) = b(1-2b).

5. Доказываем тождество:

a) Левая часть:

1. \[ (a-3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) \]
2. \[ 4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac + 3ac + 9c^2 \]
3. \[ 2a^2 - 3ac - 3c^2 \]

Правая часть:

1. \[ (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2 \]
2. \[ 6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac - 8a^2 \]
3. \[ 2a^2 + ac - 3c^2 \]

Видим, что левая и правая части не равны. Проверим условие задачи, возможно, в условии есть опечатка. Если допустить, что в правой части вместо 8a² стоит -3c², то:

Правая часть (исправленная):

1. \[ (2a - c)(3c + 5a) - 3c^2 \]
2. \[ 6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac - 3c^2 \]
3. \[ 10a^2 + ac - 6c^2 \]

Все еще не совпадает. Возможна опечатка в левой части, например, если вместо +3c(a+3c) стоит -3c(a-3c).

Левая часть (исправленная):

1. \[ (a-3c)(4c + 2a) - 3c(a - 3c) \]
2. \[ 4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac - 3ac + 9c^2 \]
3. \[ 2a^2 - 5ac - 3c^2 \]

Так как мы не можем точно установить, где именно ошибка, и не можем доказать тождество без исправления, приведем решение для правой части, если допустить, что там должно быть -3c² вместо -8a²:

Правая часть (второй вариант исправления):

1. \[ (2a - c)(3c + 5a) - 3c^2 \]
2. \[ 6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac - 3c^2 \]
3. \[ 10a^2 + ac - 6c^2 \]

б) Левая часть:

1. \[ (1-2b)(1-5b+b^2) + (2b-1)(1-6b+b^2) \]
2. \[ (1-5b+b^2 - 2b+10b^2-2b^3) + (2b-12b^2+2b^3 - 1+6b-b^2) \]
3. \[ 1 - 7b + 11b^2 - 2b^3 + 8b - 13b^2 + 2b^3 - 1 \]
4. \[ (1-1) + (-7b+8b) + (11b^2-13b^2) + (-2b^3+2b^3) \]
5. \[ 0 + b - 2b^2 + 0 = b - 2b^2 \]

Правая часть:

1. \[ b(1-2b) \]
2. \[ b - 2b^2 \]

Левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество в пункте б) доказано. В пункте а) предполагается опечатка в условии.