4) Докажите тождество: (cos²α - sin²α) / (cos α - sin α) - tgα*cosα = cos α.

Докажем тождество: $$\frac{cos^2 α - sin^2 α}{cos α - sin α} - tg α * cos α = cos α$$

Разложим числитель дроби как разность квадратов:

$$cos^2 α - sin^2 α = (cos α - sin α)(cos α + sin α)$$

Подставим в исходное выражение:

$$\frac{(cos α - sin α)(cos α + sin α)}{cos α - sin α} - tg α * cos α = cos α + sin α - tg α * cos α$$

Выразим tg α как sin α / cos α:

$$cos α + sin α - \frac{sin α}{cos α} * cos α = cos α + sin α - sin α = cos α$$

Таким образом, левая часть равна правой части, и тождество доказано.

Тождество доказано.