Докажите тождество: $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите тождество: $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $x\ne1$ и $x\ne-1$.

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}$.

Вычтем числители и используем формулу разности квадратов:

$\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{x^2-1}$.

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях $x$, значит, тождество доказано.

Докажите тождество: \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}\).