Докажите тождество: \(\left(\frac{b^3}{b^2-8b+16}-\frac{b^2}{b-4}\right):\left(\frac{b^2}{b^2-16}-\frac{b}{b-4}\right)=\frac{b^2+4b}{4-b}\).

Область допустимых значений: \(b\ne4,-4\). Кроме того, делитель не должен равняться нулю; как будет видно из упрощения, это требует \(b\ne0\).

Упростим первую скобку:

\(\frac{b^3}{(b-4)^2}-\frac{b^2}{b-4}=\frac{b^3-b^2(b-4)}{(b-4)^2}=\frac{4b^2}{(b-4)^2}\).

Упростим вторую скобку:

\(\frac{b^2}{(b-4)(b+4)}-\frac{b}{b-4}=\frac{b^2-b(b+4)}{(b-4)(b+4)}=-\frac{4b}{(b-4)(b+4)}\).

Разделим полученные выражения:

\(\frac{4b^2}{(b-4)^2}:\left(-\frac{4b}{(b-4)(b+4)}\right)=-\frac{b(b+4)}{b-4}=\frac{b^2+4b}{4-b}\).

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях переменной, поэтому тождество доказано.