Докажите тождество: \(\left(\frac{x}{x-a}-\frac{a}{x+a}\right):\left(\frac{x+a}{a}-\frac{x-a}{x}\right)=\frac{ax}{x^2-a^2}\).

ОДЗ: \(a\ne0\), \(x\ne0\), \(x\ne a\), \(x\ne -a\), а вторая скобка-делитель должна быть ненулевой.

Упростим первую скобку: \(\frac{x}{x-a}-\frac{a}{x+a}=\frac{x(x+a)-a(x-a)}{x^2-a^2}=\frac{x^2+a^2}{x^2-a^2}\).

Упростим вторую скобку: \(\frac{x+a}{a}-\frac{x-a}{x}=\frac{x(x+a)-a(x-a)}{ax}=\frac{x^2+a^2}{ax}\).

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\(\frac{x^2+a^2}{x^2-a^2}:\frac{x^2+a^2}{ax}=\frac{x^2+a^2}{x^2-a^2}\cdot\frac{ax}{x^2+a^2}=\frac{ax}{x^2-a^2}\).

Получено выражение из правой части, тождество доказано.