9. Докажите тождество $$a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc = (a + b)(b + c)(c + a)$$.

Раскроем скобки в левой части: $$a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc =$$ $$= ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 - 4abc =$$ $$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$$. Раскроем скобки в правой части: $$(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b)(bc + ba + c^2 + ca) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc =$$ $$= a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc$$. Так как $$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc$$, то тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.