4. Докажите тождество: $$\cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$.

Докажем тождество: $$\cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$. Используем тождество $$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$. Тогда: $$\cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, откуда $$1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$. Таким образом, $$\cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$, что и требовалось доказать.