5. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 4 см, имеют одну общую точку А Прямая в касается этих окружностей в точках М и №. Найдите отрезок МΝ.

5. Пусть R = 9 см - радиус большей окружности, r = 4 см - радиус меньшей окружности. Пусть O₁ и O₂ - центры окружностей, M и N - точки касания прямой b к окружностям. Тогда O₁M = R = 9 см и O₂N = r = 4 см. O₁M и O₂N перпендикулярны прямой b. Проведем прямую через O₂ параллельно MN до пересечения с O₁M в точке K. Тогда O₁KO₂ - прямоугольный треугольник, O₁O₂ = R + r = 9 + 4 = 13 см, O₁K = R - r = 9 - 4 = 5 см. По теореме Пифагора, $$O_2K^2 + O_1K^2 = O_1O_2^2$$, $$O_2K^2 = O_1O_2^2 - O_1K^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$, $$O_2K = \sqrt{144} = 12$$ см. Так как MN = O₂K, то MN = 12 см.

Ответ: 12 см.