25. Две окружности с центрами О₁ и Оз и радиусами 6 и 7 касаются друг друга внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром О2 и радиусом 14. Найдите угол 010203.

Решение:

Пусть \(r_1 = 6\), \(r_3 = 7\), \(r_2 = 14\) - радиусы окружностей с центрами \(O_1\), \(O_3\) и \(O_2\) соответственно.

Так как окружности с центрами \(O_1\) и \(O_3\) касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

\[O_1O_3 = r_1 + r_3 = 6 + 7 = 13\]

Окружность с центром \(O_1\) касается окружности с центром \(O_2\) внутренним образом, поэтому:

\[O_1O_2 = |r_2 - r_1| = |14 - 6| = 8\]

Окружность с центром \(O_3\) касается окружности с центром \(O_2\) внутренним образом, поэтому:

\[O_3O_2 = |r_2 - r_3| = |14 - 7| = 7\]

Теперь у нас есть треугольник \(O_1O_2O_3\) со сторонами \(O_1O_2 = 8\), \(O_2O_3 = 7\), \(O_1O_3 = 13\). Используем теорему косинусов для нахождения угла \(\angle O_1O_2O_3\):

\[O_1O_3^2 = O_1O_2^2 + O_2O_3^2 - 2 \cdot O_1O_2 \cdot O_2O_3 \cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)\]

\[13^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)\]

\[169 = 64 + 49 - 112 \cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)\]

\[169 = 113 - 112 \cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)\]

\[56 = -112 \cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)\]

\[\cos(\angle O_1O_2O_3) = -\frac{56}{112} = -\frac{1}{2}\]

\[\angle O_1O_2O_3 = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ\]

Ответ: \(120^\circ\)