23. В треугольнике АВС угол равен 90°, tg ∠B = 33. ВС = 46. Найди- 23' те АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC с углом \( 90^\circ \) при вершине A, тангенс угла B определяется как отношение противолежащего катета AC к прилежащему катету AB:

\[\tan(\angle B) = \frac{AC}{AB}\]

Нам дано, что \(\tan(\angle B) = \frac{33}{23}\) и \(BC = 46\). Нам нужно найти \(AC\).

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2\]

Выразим \(AB\) через \(AC\) и \(\tan(\angle B)\):

\[AB = \frac{AC}{\tan(\angle B)} = AC \cdot \frac{23}{33}\]

Подставим это выражение в теорему Пифагора:

\[46^2 = \left(AC \cdot \frac{23}{33}\right)^2 + AC^2\]

\[46^2 = AC^2 \cdot \left(\frac{23^2}{33^2} + 1\right)\]

\[46^2 = AC^2 \cdot \left(\frac{529}{1089} + 1\right)\]

\[46^2 = AC^2 \cdot \frac{1618}{1089}\]

\[AC^2 = \frac{46^2 \cdot 1089}{1618}\]

\[AC^2 = \frac{2116 \cdot 1089}{1618} = \frac{2304324}{1618} = 1424.18\]

\[AC = \sqrt{1424.18} \approx 37.74\]

Ответ: AC \(\approx 37.74\)