348 Две окружности с центрами От и О₂ вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках А и D, а вторая - в точках В и С. Докажите, что АВ = CD.

Пусть дан угол с вершиной O, и две окружности вписаны в этот угол.

Пусть первая окружность с центром O₁ касается сторон угла в точках A и D, а вторая окружность с центром O₂ касается сторон угла в точках B и C.

Докажем, что AB = CD.

Рассмотрим треугольники OAО₁ и OBО₂. Оба треугольника прямоугольные (так как касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания).

Углы при вершине O у обоих треугольников общие, следовательно, треугольники OAО₁ и OBО₂ подобны по двум углам.

Тогда \(\frac{OA}{OB} = \frac{O₁A}{O₂B}\)

Так как O₁A и O₂B - радиусы окружностей, то \(\frac{OA}{OB} = \frac{r₁}{r₂}\), где r₁ и r₂ - радиусы первой и второй окружностей соответственно.

Аналогично, \(\frac{OD}{OC} = \frac{r₁}{r₂}\)

Значит, \(\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}\), откуда \(OA \cdot OC = OB \cdot OD\)

Найдём разность OC - OA и OD - OB:

OC - OA = \(\frac{OB \cdot OD}{OA} - OA = \frac{OB \cdot OD - OA^2}{OA}\)

OD - OB = \(\frac{OA \cdot OC}{OB} - OB = \frac{OA \cdot OC - OB^2}{OB}\)

Учитывая, что OA ⋅ OC = OB ⋅ OD, получим:

OC - OA = AC

OD - OB = BD

Из равенства \(\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}\) следует, что \(\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC}\). Тогда треугольники OAB и ODC подобны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, \(\frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC}\)

Также из подобия следует равенство углов OAB и ODC.

Так как углы OAB и ODC равны, а углы OAD и OCB прямые, то углы DAB и DCB также равны.

Таким образом, AB = CD.

Ответ: Доказано.