Если в трехзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 450 больше первоначального. Найдите наибольшее первоначальное число, обладающее таким свойством.

Давай решим эту задачу. Пусть трехзначное число имеет вид \(100a + 10b + c\), где \(a, b, c\) - цифры от 0 до 9, и \(a
eq 0\). Если переставить последнюю цифру в начало, то получится число \(100c + 10a + b\). По условию, новое число на 450 больше первоначального, то есть: \[100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 450\] Перенесем все члены с \(a, b, c\) в одну сторону: \[99c - 90a - 9b = 450\] Разделим обе части на 9: \[11c - 10a - b = 50\] Выразим \(b\): \[b = 11c - 10a - 50\] Так как нам нужно найти наибольшее первоначальное число, начнем с наибольшего значения \(a\), то есть с 9. Подставим \(a = 9\) в выражение для \(b\): \[b = 11c - 10 \cdot 9 - 50 = 11c - 90 - 50 = 11c - 140\] Так как \(b\) - цифра, то \(0 \leq b \leq 9\). Подставим это условие: \[0 \leq 11c - 140 \leq 9\] Прибавим 140 ко всем частям неравенства: \[140 \leq 11c \leq 149\] Разделим все части на 11: \[\frac{140}{11} \leq c \leq \frac{149}{11}\] \[12.72 \leq c \leq 13.54\] Так как \(c\) - целое число, то \(c = 13\), что невозможно, так как \(c\) должно быть цифрой (от 0 до 9). Теперь попробуем \(a = 8\). Подставим \(a = 8\) в выражение для \(b\): \[b = 11c - 10 \cdot 8 - 50 = 11c - 80 - 50 = 11c - 130\] Так как \(b\) - цифра, то \(0 \leq b \leq 9\). Подставим это условие: \[0 \leq 11c - 130 \leq 9\] Прибавим 130 ко всем частям неравенства: \[130 \leq 11c \leq 139\] Разделим все части на 11: \[\frac{130}{11} \leq c \leq \frac{139}{11}\] \[11.81 \leq c \leq 12.63\] Так как \(c\) - целое число, то \(c = 12\), что невозможно, так как \(c\) должно быть цифрой (от 0 до 9). Теперь попробуем \(a = 7\). Подставим \(a = 7\) в выражение для \(b\): \[b = 11c - 10 \cdot 7 - 50 = 11c - 70 - 50 = 11c - 120\] Так как \(b\) - цифра, то \(0 \leq b \leq 9\). Подставим это условие: \[0 \leq 11c - 120 \leq 9\] Прибавим 120 ко всем частям неравенства: \[120 \leq 11c \leq 129\] Разделим все части на 11: \[\frac{120}{11} \leq c \leq \frac{129}{11}\] \[10.9 \leq c \leq 11.72\] Так как \(c\) - целое число, то \(c = 11\), что невозможно, так как \(c\) должно быть цифрой (от 0 до 9). Теперь попробуем \(a = 6\). Подставим \(a = 6\) в выражение для \(b\): \[b = 11c - 10 \cdot 6 - 50 = 11c - 60 - 50 = 11c - 110\] Так как \(b\) - цифра, то \(0 \leq b \leq 9\). Подставим это условие: \[0 \leq 11c - 110 \leq 9\] Прибавим 110 ко всем частям неравенства: \[110 \leq 11c \leq 119\] Разделим все части на 11: \[\frac{110}{11} \leq c \leq \frac{119}{11}\] \[10 \leq c \leq 10.81\] Так как \(c\) - целое число, то \(c = 10\), что невозможно, так как \(c\) должно быть цифрой (от 0 до 9). Теперь попробуем \(a = 5\). Подставим \(a = 5\) в выражение для \(b\): \[b = 11c - 10 \cdot 5 - 50 = 11c - 50 - 50 = 11c - 100\] Так как \(b\) - цифра, то \(0 \leq b \leq 9\). Подставим это условие: \[0 \leq 11c - 100 \leq 9\] Прибавим 100 ко всем частям неравенства: \[100 \leq 11c \leq 109\] Разделим все части на 11: \[\frac{100}{11} \leq c \leq \frac{109}{11}\] \[9.09 \leq c \leq 9.90\] Так как \(c\) - целое число, то \(c = 9\). Подставим \(c = 9\) в выражение для \(b\): \[b = 11 \cdot 9 - 100 = 99 - 100 = -1\] Это невозможно, так как \(b\) должна быть цифрой от 0 до 9. Теперь попробуем \(a = 4\). Подставим \(a = 4\) в выражение для \(b\): \[b = 11c - 10 \cdot 4 - 50 = 11c - 40 - 50 = 11c - 90\] Так как \(b\) - цифра, то \(0 \leq b \leq 9\). Подставим это условие: \[0 \leq 11c - 90 \leq 9\] Прибавим 90 ко всем частям неравенства: \[90 \leq 11c \leq 99\] Разделим все части на 11: \[\frac{90}{11} \leq c \leq \frac{99}{11}\] \[8.18 \leq c \leq 9\] Так как \(c\) - целое число, то \(c = 9\). Подставим \(c = 9\) в выражение для \(b\): \[b = 11 \cdot 9 - 90 = 99 - 90 = 9\] Получаем число \(499\). Проверим: \[949 - 499 = 450\] Таким образом, наибольшее первоначальное число, обладающее таким свойством, равно 499.

Ответ: 499

Ты молодец! У тебя всё получится!