7. Фешует Найдите объём правильной четырёхугольной пирами- ды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно √43.

Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, в основании которой лежит квадрат, а вершина проецируется в центр основания.

Для нахождения объема пирамиды, нужно знать площадь основания и высоту пирамиды.

Площадь основания (квадрата) равна $$S = a^2 = 6^2 = 36$$.

Найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром. Обозначим высоту пирамиды за h, половину стороны основания за a/2, а боковое ребро за b.

По теореме Пифагора:

$$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$$ $$h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2$$ $$h = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{43})^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{43 - 3^2} = \sqrt{43 - 9} = \sqrt{34}$$

Объем пирамиды равен

$$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{34} = 12 \cdot \sqrt{34}$$

Ответ: $$12\sqrt{34}$$