Find the derivatives of the functions: 8) y = ctg x ⋅ x⁷

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций y = ctg x ⋅ x⁷, используем правило Лейбница (производная произведения).

• Пусть u = ctg x, тогда u' = -1/sin²x.
• Пусть v = x⁷, тогда v' = 7x⁶.
• По правилу Лейбница: y' = u'v + uv'.
• Подставляем значения: y' = (-\(\frac{1}{\sin^2 x}\)) ⋅ x⁷ + ctg x ⋅ (7x⁶).
• Упрощаем: y' = -\(\frac{x^7}{\sin^2 x}\) + 7x⁶ ctg x.

Ответ: y' = -\(\frac{x^7}{\sin^2 x}\) + 7x⁶ ctg x