Ф.И. Вариант 4. 1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямой $$C_1D$$ и плоскостью $$(ABC)$$.

Для решения этой задачи необходимо представить куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и рассмотреть взаимное расположение прямой $$C_1D$$ и плоскости $$(ABC)$$. Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

1. Найдем проекцию прямой $$C_1D$$ на плоскость $$(ABC)$$.

2. Точка $$D$$ уже лежит в плоскости $$(ABC)$$, поэтому нужно спроецировать точку $$C_1$$ на эту плоскость. Проекцией точки $$C_1$$ на плоскость $$(ABC)$$ является точка $$C$$.

3. Следовательно, проекцией прямой $$C_1D$$ на плоскость $$(ABC)$$ является прямая $$CD$$.

4. Теперь нужно найти угол между прямой $$C_1D$$ и её проекцией $$CD$$. Это угол $$\angle DC_1D$$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$C_1DC$$. В этом треугольнике $$CC_1$$ - это ребро куба, а $$CD$$ - тоже ребро куба. Обозначим длину ребра куба как $$a$$. Тогда $$CC_1 = a$$ и $$CD = a$$.

6. Тангенс угла $$\angle DC_1D$$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть:

$$\tan(\angle DC_1D) = \frac{CD}{CC_1} = \frac{a}{a} = 1$$

7. Угол, тангенс которого равен 1, равен 45 градусам.

Следовательно, угол между прямой $$C_1D$$ и плоскостью $$(ABC)$$ равен 45 градусам.

Ответ: 45°