В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребрами $$AB =$$ 8, $$AD = 6, AA_1 = 10$$ найдите угол между прямой $$BD_1$$ и плоскостью $$(ABC)$$.

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ даны ребра $$AB = 8$$, $$AD = 6$$, $$AA_1 = 10$$. Нужно найти угол между прямой $$BD_1$$ и плоскостью $$(ABC)$$.

1. Найдем проекцию прямой $$BD_1$$ на плоскость $$(ABC)$$. Точка $$B$$ лежит в плоскости $$(ABC)$$, поэтому нужно спроецировать точку $$D_1$$ на эту плоскость. Проекцией точки $$D_1$$ на плоскость $$(ABC)$$ является точка $$D$$. Следовательно, проекцией прямой $$BD_1$$ на плоскость $$(ABC)$$ является прямая $$BD$$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDD_1$$. В этом треугольнике $$DD_1 = AA_1 = 10$$ (высота параллелепипеда), $$BD$$ - диагональ прямоугольника $$ABCD$$, и $$\angle DBD_1$$ - угол между прямой $$BD_1$$ и плоскостью $$(ABC)$$.

3. Найдем длину диагонали $$BD$$ прямоугольника $$ABCD$$ по теореме Пифагора:

$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$

4. В прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$ найдем тангенс угла $$\angle DBD_1$$:

$$\tan(\angle DBD_1) = \frac{DD_1}{BD} = \frac{10}{10} = 1$$

5. Угол, тангенс которого равен 1, равен 45 градусам.

Следовательно, угол между прямой $$BD_1$$ и плоскостью $$(ABC)$$ равен 45 градусам.

Ответ: 45°