В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ боковое ребро $$SA = 10$$ и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите сторону основания.

В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ боковое ребро $$SA = 10$$ и наклонено к плоскости основания под углом $$60^\circ$$. Нужно найти сторону основания.

1. Проведем высоту $$SO$$ пирамиды. Так как пирамида правильная, основание высоты $$O$$ является центром основания, то есть центром равностороннего треугольника $$ABC$$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAO$$. В этом треугольнике $$SA = 10$$ (боковое ребро), $$\angle SAO = 60^\circ$$ (угол наклона бокового ребра к плоскости основания), $$SO$$ - высота пирамиды, $$AO$$ - радиус описанной окружности около треугольника $$ABC$$ (стороны основания).

3. Из прямоугольного треугольника $$SAO$$ найдем $$AO$$:

$$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA}$$ $$\cos(60^\circ) = \frac{AO}{10}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{AO}{10}$$ $$AO = 5$$

4. Радиус описанной окружности около правильного треугольника связан со стороной треугольника $$a$$ формулой:

$$AO = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

5. Выразим сторону основания $$a$$ через $$AO$$:

$$a = AO \cdot \sqrt{3}$$ $$a = 5 \sqrt{3}$$

Ответ: $$5\sqrt{3}$$