2 Найти точки экстремума функции y= x/3 + 3/x.

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти первую производную, определить критические точки и исследовать их на экстремум.

1. Найдём первую производную функции: $$y' = (\frac{x}{3} + \frac{3}{x})' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$$.
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: $$\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0$$, $$\frac{1}{3} = \frac{3}{x^2}$$, $$x^2 = 9$$, $$x = \pm 3$$.
3. Определим вторую производную: $$y'' = (\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2})' = \frac{6}{x^3}$$.
4. Исследуем критические точки на экстремум:
   • $$x = 3$$: $$y''(3) = \frac{6}{3^3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} > 0$$. Значит, в точке $$x = 3$$ функция имеет минимум. Значение функции в этой точке: $$y(3) = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = 1 + 1 = 2$$.
   • $$x = -3$$: $$y''(-3) = \frac{6}{(-3)^3} = \frac{6}{-27} = -\frac{2}{9} < 0$$. Значит, в точке $$x = -3$$ функция имеет максимум. Значение функции в этой точке: $$y(-3) = \frac{-3}{3} + \frac{3}{-3} = -1 - 1 = -2$$.

Точки экстремума:

• Точка минимума: $$(3; 2)$$.
• Точка максимума: $$(-3; -2)$$.

Ответ: Точка минимума: $$(3; 2)$$, точка максимума: $$(-3; -2)$$.