3 Построить график функции: 1) y = 2x⁴ - x² + 1; 2) y = x³ - 3x.

1) Построим график функции $$y = 2x^4 - x^2 + 1$$.

Для построения графика функции необходимо исследовать функцию, найти её характерные точки и построить график.

1. Область определения: $$x \in R$$.
2. Функция чётная, так как $$y(-x) = 2(-x)^4 - (-x)^2 + 1 = 2x^4 - x^2 + 1 = y(x)$$. График симметричен относительно оси Oy.
3. Найдём первую производную: $$y' = (2x^4 - x^2 + 1)' = 8x^3 - 2x$$.
4. Найдём критические точки: $$8x^3 - 2x = 0$$, $$2x(4x^2 - 1) = 0$$, $$x = 0$$ или $$4x^2 - 1 = 0$$, $$x^2 = \frac{1}{4}$$, $$x = \pm \frac{1}{2}$$.
5. Найдём вторую производную: $$y'' = (8x^3 - 2x)' = 24x^2 - 2$$.
6. Исследуем критические точки на экстремум:
   • $$x = 0$$: $$y''(0) = 24(0)^2 - 2 = -2 < 0$$. Значит, в точке $$x = 0$$ функция имеет максимум. $$y(0) = 2(0)^4 - (0)^2 + 1 = 1$$.
   • $$x = \frac{1}{2}$$: $$y''(\frac{1}{2}) = 24(\frac{1}{2})^2 - 2 = 24(\frac{1}{4}) - 2 = 6 - 2 = 4 > 0$$. Значит, в точке $$x = \frac{1}{2}$$ функция имеет минимум. $$y(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^4 - (\frac{1}{2})^2 + 1 = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{1 - 2 + 8}{8} = \frac{7}{8}$$.
   • $$x = -\frac{1}{2}$$: Так как функция чётная, то в точке $$x = -\frac{1}{2}$$ также минимум. $$y(-\frac{1}{2}) = \frac{7}{8}$$.
7. Построение графика: График представляет собой W-образную функцию, симметричную относительно оси Oy.

2) Построим график функции $$y = x^3 - 3x$$.

1. Область определения: $$x \in R$$.
2. Функция нечётная, так как $$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -y(x)$$. График симметричен относительно начала координат.
3. Найдём первую производную: $$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$$.
4. Найдём критические точки: $$3x^2 - 3 = 0$$, $$3x^2 = 3$$, $$x^2 = 1$$, $$x = \pm 1$$.
5. Найдём вторую производную: $$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$$.
6. Исследуем критические точки на экстремум:
   • $$x = 1$$: $$y''(1) = 6(1) = 6 > 0$$. Значит, в точке $$x = 1$$ функция имеет минимум. $$y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$$.
   • $$x = -1$$: $$y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$$. Значит, в точке $$x = -1$$ функция имеет максимум. $$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$$.
7. Построение графика: График представляет собой кубическую параболу, симметричную относительно начала координат.

Ответ: Построены графики функций $$y = 2x^4 - x^2 + 1$$ и $$y = x^3 - 3x$$ (описаны характеристики графиков).