14. Geometrik progressiyada b₂ + b3 = 20, b₄ − b₂ = 60 bo'lsa, dastlabki to'rtta hadining yig'indisini toping. A) 75 B) 85 C) 64 D) 80

14. Пусть дана геометрическая прогрессия $$b_1, b_2, b_3, b_4, ...$$. Тогда:

$$b_2 = b_1 \cdot q$$

$$b_3 = b_1 \cdot q^2$$

$$b_4 = b_1 \cdot q^3$$, где q - знаменатель геометрической прогрессии.

Из условия задачи известно, что $$b_2 + b_3 = 20$$ и $$b_4 - b_2 = 60$$. Получаем систему уравнений:

$$b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 20$$

$$b_1 \cdot q^3 - b_1 \cdot q = 60$$.

Вынесем общий множитель в каждом уравнении:

$$b_1 \cdot q(1 + q) = 20$$

$$b_1 \cdot q(q^2 - 1) = 60$$.

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{b_1 \cdot q(q^2 - 1)}{b_1 \cdot q(1 + q)} = \frac{60}{20}$$

$$\frac{q^2 - 1}{1 + q} = 3$$

Заметим, что $$q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$$. Тогда:

$$\frac{(q - 1)(q + 1)}{1 + q} = 3$$

$$q - 1 = 3$$

$$q = 4$$.

Подставим значение $$q = 4$$ в первое уравнение:

$$b_1 \cdot 4(1 + 4) = 20$$

$$b_1 \cdot 4 \cdot 5 = 20$$

$$20b_1 = 20$$

$$b_1 = 1$$.

Теперь найдем первые четыре члена геометрической прогрессии:

$$b_1 = 1$$

$$b_2 = 1 \cdot 4 = 4$$

$$b_3 = 1 \cdot 4^2 = 16$$

$$b_4 = 1 \cdot 4^3 = 64$$.

Найдем сумму первых четырех членов:

$$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 1 + 4 + 16 + 64 = 85$$.

Ответ: B) 85