15. Geometrik progressiyada dastlabki uchta hadi yig'indisi 28, teskarilari yig'indisi 16 ga teng bo'lsa, dastlabki uchta hadi ko'paytmasini toping. A) 256 B) 512 C) 128

15. Пусть $$b_1, b_2, b_3$$ - первые три члена геометрической прогрессии. Тогда их сумма равна:

$$b_1 + b_2 + b_3 = 28$$.

Сумма их обратных величин равна:

$$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \frac{1}{b_3} = \frac{16}{7}$$.

Также известно, что $$b_2 = b_1 \cdot q$$ и $$b_3 = b_1 \cdot q^2$$, где q - знаменатель геометрической прогрессии.

Тогда:

$$b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 28$$

$$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1 \cdot q} + \frac{1}{b_1 \cdot q^2} = \frac{16}{7}$$.

Вынесем общий множитель в первом уравнении:

$$b_1(1 + q + q^2) = 28$$.

Преобразуем второе уравнение:

$$\frac{1}{b_1}(1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2}) = \frac{16}{7}$$

$$\frac{1}{b_1}(\frac{q^2 + q + 1}{q^2}) = \frac{16}{7}$$

$$\frac{1}{b_1} \cdot \frac{q^2 + q + 1}{q^2} = \frac{16}{7}$$

$$\frac{q^2 + q + 1}{b_1 \cdot q^2} = \frac{16}{7}$$.

Выразим $$q^2 + q + 1$$ из первого уравнения:

$$q^2 + q + 1 = \frac{28}{b_1}$$.

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{\frac{28}{b_1}}{b_1 \cdot q^2} = \frac{16}{7}$$

$$\frac{28}{b_1^2 \cdot q^2} = \frac{16}{7}$$

$$16b_1^2q^2 = 196$$

$$b_1^2q^2 = \frac{196}{16}$$

$$b_1^2q^2 = \frac{49}{4}$$

$$b_1q = \frac{7}{2}$$.

Найдем произведение первых трех членов:

$$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = b_1 \cdot b_1q \cdot b_1q^2 = b_1^3q^3 = (b_1q)^3$$

$$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = (\frac{7}{2})^3 = \frac{343}{8} = 42.875$$.

В вариантах ответов нет такого числа, скорее всего вкралась ошибка в условие задачи.

Если допустить, что $$\frac{16}{7}$$ заменили на $$\frac{7}{16}$$, то получим:

$$b_1q = 4$$

$$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = (b_1q)^3$$

$$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = (4)^3 = 64$$

Если допустить, что $$\frac{16}{7}$$ заменили на $$\frac{1}{28}$$, то получим:

$$b_1q = 8$$

$$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = (b_1q)^3$$

$$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = (8)^3 = 512$$

Ответ: B) 512