12. Yig'indisi 312 ga teng bo'lgan uchta son o'suvchi geometrik progressiyani tashkil etadi. O'rtadagi hadga 18 qo'shilsa, bu uch son arifmetik progressiyaga aylanadi. Geometrik progressiyani to'rtinchi hadini toping. A) 288 B) 864 C) 648 D) 712

12. Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, будут $$b_1, b_2, b_3$$. Из условия задачи известно, что их сумма равна 312:

$$b_1 + b_2 + b_3 = 312$$.

Также известно, что если к среднему члену прибавить 18, то получится арифметическая прогрессия. То есть, числа $$b_1, b_2 + 18, b_3$$ образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, выполняется условие:

$$2(b_2 + 18) = b_1 + b_3$$

$$2b_2 + 36 = b_1 + b_3$$.

Выразим $$b_1 + b_3$$ из первого уравнения:

$$b_1 + b_3 = 312 - b_2$$.

Подставим это во второе уравнение:

$$2b_2 + 36 = 312 - b_2$$

$$3b_2 = 276$$

$$b_2 = 92$$.

Так как исходные числа $$b_1, b_2, b_3$$ образуют геометрическую прогрессию, то выполняется условие:

$$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$$

$$b_1 = \frac{b_2}{q}$$

$$b_3 = b_2 \cdot q$$, где $$q$$ - знаменатель геометрической прогрессии.

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$$\frac{b_2}{q} + b_2 + b_2 \cdot q = 312$$

$$\frac{92}{q} + 92 + 92 \cdot q = 312$$

$$\frac{1}{q} + 1 + q = \frac{312}{92}$$

$$\frac{1}{q} + 1 + q = \frac{78}{23}$$

$$\frac{1}{q} + q = \frac{78}{23} - 1$$

$$\frac{1}{q} + q = \frac{55}{23}$$

$$\frac{1 + q^2}{q} = \frac{55}{23}$$

$$23(1 + q^2) = 55q$$

$$23 + 23q^2 = 55q$$

$$23q^2 - 55q + 23 = 0$$.

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-55)^2 - 4 \cdot 23 \cdot 23 = 3025 - 2116 = 909$$

$$q_1 = \frac{55 + \sqrt{909}}{46} \approx 1.77$$

$$q_2 = \frac{55 - \sqrt{909}}{46} \approx 0.77$$.

Тогда $$b_1 = \frac{92}{q}$$, $$b_2 = 92$$, $$b_3 = 92 \cdot q$$.

Если $$q \approx 1.77$$, то $$b_1 \approx 51.98$$, $$b_3 \approx 162.84$$.

Если $$q \approx 0.77$$, то $$b_1 \approx 119.48$$, $$b_3 \approx 70.84$$.

Так как числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию, то $$q > 1$$.

Итак, $$b_1 \approx 51.98, b_2 = 92, b_3 \approx 162.84$$. Четвертый член геометрической прогрессии $$b_4 = b_3 \cdot q = 162.84 \cdot 1.77 \approx 288.23$$.

Ответ: A) 288