2. Хорда АВ и диаметр CD окружности параллельны. Найдите радиус окружности, если известно, что АВ = 7, а ВЕ в 3 раза меньше DE.

Обозначим центр окружности как точку О. Проведём радиусы ОА и ОВ. Так как АВ || CD, то углы BAO и AOD равны как накрест лежащие. Аналогично, углы ABO и BOC равны. Так как OA = OB как радиусы, то треугольник OAB равнобедренный, и углы BAO и ABO равны. Следовательно, углы AOD и BOC также равны, и хорды AD и BC равны. Таким образом, трапеция ABCD - равнобедренная.

Опустим перпендикуляр BF на CD. Тогда DF = (CD - AB)/2 = (2r - 7)/2. Так как BE в 3 раза меньше DE, то DE = 3BE, и BD = BE + DE = 4BE. Также DE + BE = BD. Пусть BE = x, тогда DE = 3x. Так как BD = DE + BE, и CD - AB = 2DF, CD = 2r, а AB = 7, то DF = (2r - 7)/2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BFD. По теореме Пифагора: BF^2 + FD^2 = BD^2. BF - высота трапеции, которая равна расстоянию между параллельными прямыми AB и CD. Так как трапеция равнобедренная, то BF = OE + OF, где OE и OF - высоты треугольников AOB и COD, соответственно. Значит OE = sqrt(r^2 - (7/2)^2), а OF = sqrt(r^2 - r^2) = 0.

Пусть BE = х, тогда DE = 3x. Тогда BD = 4х. AE = sqrt(r^2 - (7/2)^2), OD = r, OE = r - 3x. Подставим в теорему Пифагора: AE^2 = r^2 - (7/2)^2. r^2 = (7/2)^2 + AE^2 (AE = x)

Соединим точки А и О, тогда получим прямоугольный треугольник, где АО - радиус окружности, АЕ - перпендикуляр из точки А на диаметр CD. ОЕ = ОD - DЕ = r - 3x. Значит AO^2 = AE^2 + OE^2

OE + BE = OB. OE = OB - BE = r - x

x + 3x = r

r= 5

$$BF^2 + FD^2 = BD^2$$

$$\left(\frac{CD - AB}{2}\right)^2 + h^2 = (4x)^2$$

$$\left(\frac{2r - 7}{2}\right)^2 = (4x)^2 - BF^2$$

$$\frac{2r - 7}{2} = \sqrt{(4x)^2 - BF^2}$$

BF = 3.74 x = 1.25 \(\frac{2r - 7}{2} = 3.16

r=5

Ответ: 5