I вариант, 2. В треугольнике MNK MN = NK, MK = √2, ∠M = 30°, MA — биссектриса. Найдите MA.

Так как \(MN=NK\), углы при основании \(MK\) равны: \(\angle K=\angle M=30^\circ\), поэтому \(\angle N=120^\circ\).

По теореме синусов: \(MN=\frac{MK\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

Длина биссектрисы угла между сторонами \(MN\) и \(MK\): \(MA=\frac{2\cdot MN\cdot MK\cdot\cos 15^\circ}{MN+MK}\).

Подставим значения и используем \(\cos15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\): \(MA=\frac{2\cdot\sqrt{2/3}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos15^\circ}{\sqrt{2/3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+3}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\) см.

Ответ: \(MA=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+3}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\) см.