4. Игральную кость бросают 4 раза. Найдите вероятность события: А) «пятерка выпала ровно один раз»; Б) «четверка выпала ровно 2 раза»; В) «двойка выпала 1 или 2 раза».

Решение:

А) «пятерка выпала ровно один раз».

Здесь мы имеем дело со схемой Бернулли. Вероятность успеха (выпадения пятерки) в одном испытании равна $$p = 1/6$$. Вероятность неудачи (не выпадения пятерки) равна $$q = 1 - p = 5/6$$. Количество испытаний равно $$n = 4$$.

Вероятность того, что пятерка выпадет ровно один раз:

$$ P(1) = C_4^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-1} = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{4 \cdot 5^3}{6^4} = \frac{500}{1296} \approx 0.386 $$

Б) «четверка выпала ровно 2 раза».

Вероятность того, что четверка выпадет ровно два раза:

$$ P(2) = C_4^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{6 \cdot 5^2}{6^4} = \frac{150}{1296} \approx 0.116 $$

В) «двойка выпала 1 или 2 раза».

Вероятность того, что двойка выпадет ровно один раз:

$$ P(1) = C_4^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-1} = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{4 \cdot 5^3}{6^4} = \frac{500}{1296} $$

Вероятность того, что двойка выпадет ровно два раза:

$$ P(2) = C_4^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{6 \cdot 5^2}{6^4} = \frac{150}{1296} $$

Вероятность того, что двойка выпадет 1 или 2 раза:

$$ P(1 \text{ или } 2) = P(1) + P(2) = \frac{500}{1296} + \frac{150}{1296} = \frac{650}{1296} \approx 0.502 $$

Ответ: А) $$P(1) = \frac{500}{1296} \approx 0.386$$; Б) $$P(2) = \frac{150}{1296} \approx 0.116$$; В) $$P(1 \text{ или } 2) = \frac{650}{1296} \approx 0.502$$.