3. Напишите формулы, по которым следует находить вероятность того, что при пяти бросаниях игрального кубика «тройка» выпадет: а) ровно два раза; б) ровно три раза; в) все пять раз; г) не выпадет ни разу.

Решение:

Здесь мы имеем дело со схемой Бернулли. Вероятность успеха (выпадения тройки) в одном испытании равна $$p = 1/6$$. Вероятность неудачи (не выпадения тройки) равна $$q = 1 - p = 5/6$$. Количество испытаний равно $$n = 5$$.

Формула Бернулли:

$$ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} $$

где $$P(k)$$ - вероятность того, что успех наступит ровно $$k$$ раз в $$n$$ испытаниях, $$C_n^k$$ - количество сочетаний из $$n$$ по $$k$$, $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании, $$q$$ - вероятность неудачи в одном испытании.

а) Вероятность того, что «тройка» выпадет ровно два раза:

$$ P(2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-2} = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 $$

б) Вероятность того, что «тройка» выпадет ровно три раза:

$$ P(3) = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-3} = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 $$

в) Вероятность того, что «тройка» выпадет все пять раз:

$$ P(5) = C_5^5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-5} = \left(\frac{1}{6}\right)^5 $$

г) Вероятность того, что «тройка» не выпадет ни разу:

$$ P(0) = C_5^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-0} = \left(\frac{5}{6}\right)^5 $$

Ответ: а) $$P(2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3$$; б) $$P(3) = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$$; в) $$P(5) = \left(\frac{1}{6}\right)^5$$; г) $$P(0) = \left(\frac{5}{6}\right)^5$$.