5. Производится серия из 8 испытаний с вероятностью успеха р=0,6. Что более вероятностей в этой серии: ровно 4 успеха или ровно 5 успехов?

Решение:

Здесь мы имеем дело со схемой Бернулли. Вероятность успеха в одном испытании равна $$p = 0.6$$. Вероятность неудачи равна $$q = 1 - p = 0.4$$. Количество испытаний равно $$n = 8$$.

Вероятность того, что будет ровно 4 успеха:

$$ P(4) = C_8^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^{8-4} = C_8^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^4 = 70 \cdot 0.1296 \cdot 0.0256 = 0.2322432 $$

Вероятность того, что будет ровно 5 успехов:

$$ P(5) = C_8^5 \cdot (0.6)^5 \cdot (0.4)^{8-5} = C_8^5 \cdot (0.6)^5 \cdot (0.4)^3 = 56 \cdot 0.07776 \cdot 0.064 = 0.27869184 $$

Сравним вероятности:

$$ P(4) = 0.2322432 < 0.27869184 = P(5) $$

Вероятность 5 успехов больше, чем вероятность 4 успехов.

Ответ: Вероятность ровно 5 успехов более вероятна.