1. В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха» и «неудачи». А) Бросают пару различных монет. «Неудача» - выпадение двух орлов; Б) Бросают игральный кубик. «Успех» выпадение числа, кратного двум; В) Бросают пару различных кубиков. «Неудача» выпадение двух четных чисел; Г) Из 36 карт берут 7. «Успех» среди них нет король пик.

Решение:

А) Бросают пару различных монет. «Неудача» - выпадение двух орлов.

Вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна $$1/2$$. Вероятность выпадения двух орлов при броске двух монет равна произведению вероятностей выпадения орла на каждой из монет. Так как монеты различные, то исходы независимы.

Вероятность «неудачи» (выпадение двух орлов):

$$ P(\text{двух орлов}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25 $$

Вероятность «успеха» (не выпадение двух орлов):

$$ P(\text{успеха}) = 1 - P(\text{неудачи}) = 1 - 0.25 = 0.75 $$

Б) Бросают игральный кубик. «Успех» - выпадение числа, кратного двум.

На игральном кубике 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Числа, кратные двум: 2, 4, 6. Значит, всего 3 благоприятных исхода.

Вероятность «успеха»:

$$ P(\text{успеха}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 $$

Вероятность «неудачи» (не выпадение числа, кратного двум):

$$ P(\text{неудачи}) = 1 - P(\text{успеха}) = 1 - 0.5 = 0.5 $$

В) Бросают пару различных кубиков. «Неудача» - выпадение двух четных чисел.

Вероятность выпадения четного числа на одном кубике равна $$3/6 = 1/2$$. Вероятность выпадения двух четных чисел при броске двух кубиков равна произведению вероятностей выпадения четного числа на каждом из кубиков. Так как кубики различные, то исходы независимы.

Вероятность «неудачи» (выпадение двух четных чисел):

$$ P(\text{неудачи}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25 $$

Вероятность «успеха» (не выпадение двух четных чисел):

$$ P(\text{успеха}) = 1 - P(\text{неудачи}) = 1 - 0.25 = 0.75 $$

Г) Из 36 карт берут 7. «Успех» - среди них нет король пик.

Общее количество способов выбрать 7 карт из 36 равно числу сочетаний из 36 по 7:

$$ C_{36}^7 = \frac{36!}{7!(36-7)!} = \frac{36!}{7!29!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8347680 $$

Количество способов выбрать 7 карт из 35 (без короля пик) равно числу сочетаний из 35 по 7:

$$ C_{35}^7 = \frac{35!}{7!(35-7)!} = \frac{35!}{7!28!} = \frac{35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6724520 $$

Вероятность «успеха» (среди них нет короля пик):

$$ P(\text{успеха}) = \frac{C_{35}^7}{C_{36}^7} = \frac{6724520}{8347680} = \frac{35}{36} \approx 0.972 $$

Вероятность «неудачи» (среди них есть король пик):

$$ P(\text{неудачи}) = 1 - P(\text{успеха}) = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36} \approx 0.028 $$

Ответ:

А) $$P(\text{успеха}) = 0.75$$, $$P(\text{неудачи}) = 0.25$$;

Б) $$P(\text{успеха}) = 0.5$$, $$P(\text{неудачи}) = 0.5$$;

В) $$P(\text{успеха}) = 0.75$$, $$P(\text{неудачи}) = 0.25$$;

Г) $$P(\text{успеха}) = \frac{35}{36} \approx 0.972$$, $$P(\text{неудачи}) = \frac{1}{36} \approx 0.028$$.