III уровень сложности. 1. Дано: ΔBEC = ΔDFA (рис. 2.34). Доказать: 1) ΔABC = ΔCDA; 2) ΔAEB = ΔCFD.

Из равенства \(\triangle BEC=\triangle DFA\) получаем: \(BE=DF\), \(EC=FA\), \(BC=DA\), а также \(\angle BEC=\angle DFA\). По рисунку точки расположены на одной прямой в порядке \(A,E,F,C\).

2) Докажем, что \(\triangle AEB=\triangle CFD\).

Из \(EC=FA\) и порядка точек \(A,E,F,C\) следует: \(EF+FC=AE+EF\), значит, \(FC=AE\). Углы \(\angle AEB\) и \(\angle BEC\) смежные, как и углы \(\angle CFD\) и \(\angle DFA\). Поэтому из \(\angle BEC=\angle DFA\) следует \(\angle AEB=\angle CFD\).

Итак, \(AE=CF\), \(BE=DF\), а углы между этими сторонами равны. Следовательно, \(\triangle AEB=\triangle CFD\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(AB=CD\).

1) Докажем, что \(\triangle ABC=\triangle CDA\).

Имеем \(AB=CD\), \(BC=DA\), а \(AC\) — общая сторона этих треугольников. Значит, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по трём сторонам.