Имеет ли решения система: 5x + 2y = 3, -10x + 4y = 6 и сколько?

Решение:

1. Запишем систему уравнений:
   \( \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ -10x + 4y = 6 \end{cases} \)
2. Сравним коэффициенты при x:
   \( \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} \)
3. Сравним коэффициенты при y:
   \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
4. Сравним свободные члены:
   \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
5. Так как \( \frac{5}{-10} \neq \frac{2}{4} \) (т.е. \( -\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2} \)), система имеет одно решение.
6. Примечание: В задании допущена ошибка в записи последнего уравнения. Если бы второе уравнение было \( -10x - 4y = 6 \), то \( \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} \) и \( \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \). Соотношение свободных членов \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). В этом случае, так как \( -\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2} \), система не имела бы решений.
   Если бы второе уравнение было \( -10x - 4y = -6 \), то \( \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} \), \( \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \), \( \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} \). В этом случае система имела бы бесконечное множество решений.
7. Решим систему с учетом правильной записи:
   \( \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ -10x + 4y = 6 \end{cases} \)
8. Умножим первое уравнение на 2:
   \( 10x + 4y = 6 \)
9. Теперь второе уравнение:
   \( -10x + 4y = 6 \)
10. Сложим оба уравнения:
    \( (10x + 4y) + (-10x + 4y) = 6 + 6 \)
    \( 8y = 12 \)
    \( y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
11. Подставим y в первое уравнение:
    \( 5x + 2(\frac{3}{2}) = 3 \)
    \( 5x + 3 = 3 \)
    \( 5x = 0 \)
    \( x = 0 \)

Ответ: Система имеет одно решение: (0; 3/2).