Иррациональные уравнения. Решите уравнение: \( \sqrt{x^2 - 4x - 1} = 2 \)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (\sqrt{x^2 - 4x - 1})^2 = 2^2 \)
2. Получим: \( x^2 - 4x - 1 = 4 \)
3. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 4x - 1 - 4 = 0 \)
4. Приведём подобные члены: \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
7. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
8. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение.
9. Для \( x = 5 \): \( \sqrt{5^2 - 4 \cdot 5 - 1} = \sqrt{25 - 20 - 1} = \sqrt{4} = 2 \). Корень \( x=5 \) подходит.
10. Для \( x = -1 \): \( \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 1} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2 \). Корень \( x=-1 \) подходит.

Ответ: x = 5, x = -1.