Найдите решения неравенства \( x^2 + \frac{2}{3}x - 2 < 0 \), принадлежащие промежутку \( [-1; 0] \).

Решение:

1. Решим квадратное неравенство \( x^2 + \frac{2}{3}x - 2 < 0 \). Для этого найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 + \frac{2}{3}x - 2 = 0 \).
2. Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби: \( 3x^2 + 2x - 6 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 4 + 72 = 76 \).
4. Найдём корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{3} \]
5. Примерное значение \( \sqrt{19} \) — около 4.36.
6. \( x_1 = \frac{-1 - \sqrt{19}}{3} \approx \frac{-1 - 4.36}{3} = \frac{-5.36}{3} \approx -1.79 \)
7. \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3} \approx \frac{-1 + 4.36}{3} = \frac{3.36}{3} \approx 1.12 \)
8. Парабола \( y = x^2 + \frac{2}{3}x - 2 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 + \frac{2}{3}x - 2 < 0 \) выполняется при \( x \in (\frac{-1 - \sqrt{19}}{3}; \frac{-1 + \sqrt{19}}{3}) \) или приблизительно \( x \in (-1.79; 1.12) \).
9. Нам нужно найти решения, принадлежащие промежутку \( [-1; 0] \).
10. Пересечением интервала \( (-1.79; 1.12) \) и отрезка \( [-1; 0] \) является отрезок \( [-1; 0] \).

Ответ: [-1; 0].