Упростите выражение: \( \left( y+2+\frac{8}{y-2} \right) : \frac{y^2+4}{4-4y+y^2} \)

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю выражение в первой скобке: \( y+2+\frac{8}{y-2} = \frac{(y+2)(y-2)}{y-2} + \frac{8}{y-2} = \frac{y^2 - 4 + 8}{y-2} = \frac{y^2 + 4}{y-2} \)
2. Знаменатель второй дроби можно свернуть по формуле квадрата разности: \( 4 - 4y + y^2 = y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2 \)
3. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное: \( \frac{y^2 + 4}{y-2} : \frac{y^2+4}{(y-2)^2} \)
4. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь: \( \frac{y^2 + 4}{y-2} \cdot \frac{(y-2)^2}{y^2+4} \)
5. Сократим одинаковые множители: \( \frac{\cancel{y^2 + 4}}{\cancel{y-2}} \cdot \frac{(y-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{y^2+4}} = y-2 \)

Ответ: y-2.