Используя основное тригонометрическое тождество и значение cosa = \frac{5}{9}, найдите sina и tga.

Решение:

1. Основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 α + cos^2 α = 1\]

2. Выражаем sin² α:

\[sin^2 α = 1 - cos^2 α\]

3. Подставляем значение cos α = \(\frac{5}{9}\):

\[sin^2 α = 1 - \left(\frac{5}{9}\right)^2 = 1 - \frac{25}{81} = \frac{81 - 25}{81} = \frac{56}{81}\]

4. Извлекаем квадратный корень:

\[sin α = \sqrt{\frac{56}{81}} = \frac{\sqrt{56}}{9} = \frac{\sqrt{4 \cdot 14}}{9} = \frac{2\sqrt{14}}{9}\]

5. Теперь найдем тангенс:

\[tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\frac{2\sqrt{14}}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2\sqrt{14}}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{2\sqrt{14}}{5}\]