1. Исследуйте функцию \(y = x^3 - 1\)

Для исследования функции \(y = x^3 - 1\) необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Область определения:** Функция определена для всех действительных чисел, то есть \(x \in (-\infty, +\infty)\). 2. **Четность/нечетность:** * Проверим, является ли функция четной: \(y(-x) = (-x)^3 - 1 = -x^3 - 1\). Так как \(y(-x)
eq y(x)\), функция не является четной. * Проверим, является ли функция нечетной: \(-y(x) = -(x^3 - 1) = -x^3 + 1\). Так как \(y(-x)
eq -y(x)\), функция не является нечетной. * Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. 3. **Нули функции:** Найдем значения \(x\), при которых \(y = 0\): \[x^3 - 1 = 0\] \[x^3 = 1\] \[x = 1\] * Таким образом, функция пересекает ось \(x\) в точке \((1, 0)\). 4. **Интервалы знакопостоянства:** * При \(x < 1\), \(y < 0\). * При \(x > 1\), \(y > 0\). 5. **Производная:** Найдем первую производную функции: \[y' = 3x^2\] 6. **Критические точки:** Найдем значения \(x\), при которых \(y' = 0\): \[3x^2 = 0\] \[x = 0\] * Таким образом, \(x = 0\) является критической точкой. 7. **Интервалы монотонности:** * Так как \(y' = 3x^2 \geq 0\) для всех \(x\), функция возрастает на всей области определения. 8. **Экстремумы:** * В точке \(x = 0\) производная равна нулю, но не меняет знак, следовательно, в этой точке нет экстремума. Функция только меняет скорость возрастания. 9. **Вторая производная:** Найдем вторую производную функции: \[y'' = 6x\] 10. **Точки перегиба:** Найдем значения \(x\), при которых \(y'' = 0\): \[6x = 0\] \[x = 0\] * Точка перегиба: \(x = 0\). 11. **Пределы на бесконечности:** * \[\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 1) = -\infty\] * \[\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 1) = +\infty\] **Вывод:** * Область определения: \(x \in (-\infty, +\infty)\). * Функция не является ни четной, ни нечетной. * Нуль функции: \(x = 1\). * Функция возрастает на всей области определения. * Точка перегиба: \(x = 0\).