Итоговая контрольная работа за 1 четверть. Вариант 1. 1. (Базовый уровень) Периметр параллелограмма равен 36 см, а его стороны относятся как 2 : 7. Найдите стороны параллелограмма. 2. (Средний уровень) В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведён перпендикуляр BK к большему основанию. Найдите отрезок AK, если AD = 18 см, а BC = 10 см. 3. (Профильный уровень) В ромбе ABCD угол B — тупой. Из вершины B опущены перпендикуляры BM и BN на стороны AD и CD соответственно. Докажите, что треугольник BMN равнобедренный.

1. Пусть стороны равны \(2x\) и \(7x\). Из условия о периметре: \(2(2x+7x)=36\), поэтому \(18x=36\) и \(x=2\). Стороны равны \(2x=4\) см и \(7x=14\) см.

Ответ: 4 см и 14 см.

2. В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется между выступающими частями большего основания. Так как \(AD=18\) см и \(BC=10\) см, получаем \(AK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{18-10}{2}=4\) см.

Ответ: 4 см.

3. Обозначим сторону ромба через a. Площадь ромба можно выразить через основание AD и высоту BM: \(S=a\cdot BM\), так как \(AD=a\). Её же можно выразить через основание CD и высоту BN: \(S=a\cdot BN\), так как \(CD=a\). Следовательно, \(a\cdot BM=a\cdot BN\), откуда \(BM=BN\). Значит, треугольник BMN равнобедренный, его равные стороны — BM и BN.