Задание 3. Тема «Прямоугольник, ромб, квадрат». 1. Диагональ ромба образует с одной из его сторон угол 35°. Найдите углы ромба. 2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, причём ∠AOD = 120°. Найдите длину диагонали AC, если AB = 9 см.

1. Диагональ ромба делит угол при своей вершине пополам. Поэтому соответствующий угол ромба равен \(2\cdot35^\circ=70^\circ\). Соседний угол равен \(180^\circ-70^\circ=110^\circ\), а противоположные углы равны.

Ответ: углы ромба — 70°, 110°, 70°, 110°.

2. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому \(OA=OD=\frac{AC}{2}\). Треугольник AOD равнобедренный, его вершина при O равна 120°, значит, углы при A и D равны 30°. Угол AOD и угол AOB смежные, поэтому \(\angle AOB=60^\circ\). Треугольник AOB равнобедренный, поскольку \(OA=OB\); при вершине O угол 60°, следовательно, он равносторонний и \(AO=AB=9\) см. Тогда \(AC=2AO=18\) см.

Ответ: 18 см.